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      2012屆高考數學直線與圓的方程復習題(含答案)

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      第七章 直線和圓的方程綜合能力測試
      本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分。考試時間120分鐘。
      第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
      一、選擇題(每小題只有一個選項是正確的,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)
      1.(2009•湖北荊州質檢二)過點P(1,2),且方向向量v=(-1,1)的直線的方程為
      (  )
      A.x-y-3=0       B.x+y+3=0
      C.x+y-3=0    D.x-y+3=0
      答案:C
      解析:方向向量為v=(-1,1),則直線的斜率為-1,直線方程為y-2=-(x-1)即x+y-3=0,故選C.
      2.(2009•重慶市高三聯合診斷性考試)將直線l1:y=2x繞原點逆時針旋轉60°得直線l2,則直線l2到直線l3:x+2y-3=0的角為          (  )
      A.30°    B.60°     C.120°     D.150°
      答案:A
      解析:記直線l1的斜率為k1,直線l3的斜率為k3,注意到k1k3=-1,l1⊥l3,依題意畫出示意圖,結合圖形分析可知,直線l2到直線l3的角是30°,選A.
      3.(2009•東城3月)設A、B為x軸上兩點,點P的橫坐標為2,且|PA|=|PB|,若直線PA的方程x-y+1=0,則直線PB的方程為          (  )
      A.2x+y-7=0   B.2x-y-1=0
      C.x-2y+4=0   D.x+y-5=0
      答案:D
      解析:因kPA=1,則kPB=-1,又A(-1,0),點P的橫坐標為2,則B(5,0),直線PB的方程為x+y-5=0,故選D.
      4.過兩點(-1,1)和(0,3)的直線在x軸上的截距為       (  )
      A.-32  B.32   C.3   D.-3
      答案:A
      解析:由兩點式,得y-31-3=x-0-1-0,
      即2x-y+3=0,令y=0,得x=-32,
      即在x軸上的截距為-32.
      5.直線x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0無公共點,則a的值是  (  )
      A.3   B.0    C.-1   D.0或-1
      答案:D
      解析:當a=0時,兩直線方程分別為x+6=0和x=0,顯然無公共點;當a≠0時,-1a2=-a-23a,∴a=-1或a=3.而當a=3時,兩直線重合,∴a=0或-1.
      6.兩直線2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交點在第二象限,則m的取值范圍是
      (  )
      A.-32≤m≤2    B.-32<m<2
      C.-32≤m<2    D.-32<m≤2
      答案:B
      解析:由2x-my+4=0,2mx+3y-6=0,解得兩直線的交點坐標為(3m-6m2+3,4m+6m2+3),由交點在第二象限知橫坐標為負、縱坐標為正,故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0⇒-32<m<2.
      7.(2009•福建,9)在平面直角坐標系中,若不等式組x+y-1≥0,x-1≤0,ax-y+1≥0,(a為常數)所表示的平面區域的面積等于2,則a的值為          (  )
      A.-5  B.1    C.2    D.3
      答案:D
      解析:不等式組x+y-1≥0,x-1≤0,ax-y+1≥0所圍成的區域如圖所示.
       
      ∵其面積為2,∴|AC|=4,
      ∴C的坐標為(1,4),代入ax-y+1=0,
      得a=3.故選D.
      8.(2009•陜西,4)過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長為
      (  )
      A.3   B.2    C.6    D.23
      答案:D
      解析:∵直線的方程為y=3x,圓心為(0,2),半徑r=2.
      由點到直線的距離公式得弦心距等于1,從而所求弦長等于222-12=23.故選D.
      9.(2009•西城4月,6)與直線x-y-4=0和圓x2+y2+2x-2y=0都相切的半徑最小的圓的方程是                (  )
      A.(x+1)2+(y+1)2=2  B.(x+1)2+(y+1)2=4
      C.(x-1)2+(y+1)2=2  D.(x-1)2+(y+1)=4
      答案:C
      解析:圓x2+y2+2x-2y=0的圓心為(-1,1),半徑為2,過圓心(-1,1)與直線x-y-4=0垂直的直線方程為x+y=0,所求的圓的圓心在此直線上,排除A、B,圓心(-1,1)到直線x-y-4=0的距離為62=32,則所求的圓的半徑為2,故選C.
      10.(2009•安陽,6)已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點,且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|,其中O為原點,則實數a的值為          (  )
      A.2   B.-2C.2或-2  D.6或-6
      答案:C
      解析:由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2,OA→•OB→=0,OA→⊥OB→,三角形AOB為等腰直角三角形,圓心到直線的距離為2,即|a|2=2,a=±2,故選C.
      11.(2009•河南實驗中學3月)若直線l:ax+by=1與圓C:x2+y2=1有兩個不同交點,則點P(a,b)與圓C的位置關系是           (  )
      A.點在圓上  B.點在圓內C.點在圓外 D.不能確定
      答案:C
      解析:直線l:ax+by=1與圓C:x2+y2=1有兩個不同交點,則1a2+b2<1,a2+b2>1,點P(a,b)在圓C外部,故選C.
      12.(2010•保定市高三摸底考試)從原點向圓x2+(y-6)2=4作兩條切線,則這兩條切線夾角的大小為                (  )
      A.π6  B.π2C.arccos79  D.arcsin229
      答案:C
      解析:如圖,sin∠AOB=26=13,cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79,∴∠BOC=arccos79,故選C.
       
      第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
      二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,請將答案填在題中的橫線上。)
      13.(2010•湖南長沙一中)已知直線l1:ax+y+2a=0,直線l2:ax-y+3a=0.若l1⊥l2,則a=________.
      答案:±1
      解析:∵l1⊥l2,∴kl1•kl2=-1,即(-a)•a=-1,∴a=±1.
      14.點P(a,3)到直線4x-3y+1=0的距離等于4,且在不等式2x+y<4表示的平面區域內,則P點的坐標為__________.
      答案:(-3,3)
      解析:因|4a-9+1|5=4,∴a=7,a=-3.
      當a=7時,不滿足2x+y<4(舍去),∴a=-3.
      15.(2009•朝陽4月,12)已知動直線l平分圓C:(x-2)2+(y-1)2=1,則直線l與圓:x=3cosθ,y=3sinθ,(θ為參數)的位置關系是________.
      答案:相交
      解析:動直線l平分圓C:(x-2)2+(y-1)2=1,即圓心(2,1)在直線上,又圓O:x=3cosθ,y=3sinθ,即x2+y2=9,且22+12<9,(2,1)在圓O內,則直線l與圓O:
      x=3cosθ,y=3sinθ,(θ為參數)的位置關系是相交,故填相交.
      16.(2009•山東濟南一模)若直線y=kx-2與圓x2+y2=2相交于P、Q兩點,且∠POQ=120°(其中O為原點),k的值為________.
      答案:±3
       
      解析:由圖可知,點P的坐標為(0,-2),
      ∠OPQ=30°,∴直線y=kx-2的傾斜角為60°或120°,∴k=±3.
      三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。)
      17.(本小題滿分10分)求經過7x+8y=38及3x-2y=0的交點且在兩坐標軸上截得的截距相等的直線方程.
      解析:易得交點坐標為(2,3)
      設所求直線為7x+8y-38+λ(3x-2y)=0,
      即(7+3λ)x+(8-2λ)y-38=0,
      令x=0,y=388-2λ,
      令y=0,x=387+3λ,
      由已知,388-2λ=387+3λ,
      ∴λ=15,即所求直線方程為x+y-5=0.
      又直線方程不含直線3x-2y=0,而當直線過原點時,在兩軸上的截距也相等,故3x-2y=0亦為所求.
      18.(本小題滿分12分)已知直線l經過點P(3,1),且被兩平行直線l1;x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的線段之長為5,求直線l的方程.
      分析一:如圖,利用點斜式方程,分別與l1、l2聯立,求得兩交點A、B的坐標(用k表示),再利用|AB|=5可求出k的值,從而求得l的方程.
       
      解析:解法一:若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=3,此時與l1、l2的交點分別為A′(3,-4)或B′(3,-9),截得的線段AB的長|AB|=|-4+9|=5,符合題意.
      若直線l的斜率存在,則設直線l的方程為y=k(x-3)+1.
      解方程組y=k(x-3)+1,x+y+1=0,得
      A(3k-2k+1,-4k-1k+1).
      解方程組y=k(x-3)+1,x+y+6=0,得
      B(3k-7k+1,-9k-1k+1).
      由|AB|=5.
      得(3k-2k+1-3k-7k+1)2+(-4k-1k+1+9k-1k+1)2=52.
      解之,得k=0,直線方程為y=1.
      綜上可知,所求l的方程為x=3或y=1.
      分析二:用l1、l2之間的距離及l與l1夾角的關系求解.
      解法二:由題意,直線l1、l2之間的距離為d=|1-6|2=522,且直線L被平行直線l1、l2所截得的線段AB的長為5,設直線l與直線l1的夾角為θ,則sinθ=5225=22,故θ=45°.
      由直線l1:x+y+1=0的傾斜角為135°,知直線l的傾斜角為0°或90°,又由直線l過點P(3,1),故直線l的方程為:
      x=3或y=1.
      分析三:設直線l1、l2與l分別相交于A(x1,y1),B(x2,y2),則通過求出y1-y2,x1-x2的值確定直線l的斜率(或傾斜角),從而求得直線l的方程.
      解法三:設直線l與l1、l2分別相交A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+y1+1=0,x2+y2+6=0.
      兩式相減,得(x1-x2)+(y1-y2)=5.      ①
      又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25.        ②
      聯立①、②可得
      x1-x2=5,y1-y2=0,或x1-x2=0,y1-y2=5.
      由上可知,直線l的傾斜角分別為0°或90°.
      故所求的直線方程為x=3或y=1.
      19.(本小題滿分12分)設圓上的點A(2,3)關于直線x+2y=0的對稱點仍在圓上,且與直線x-y+1=0相交的弦長為22,求圓的方程.
      解析:設所求圓的圓心為(a,b),半徑為r,
      ∵點A(2,3)關于直線x+2y=0的對稱點A′仍在這個圓上,
      ∴圓心(a,b)在直線x+2y=0上,
      ∴a+2b=0,         ①
      (2-a)2+(3-b)2=r2.        ②
      又直線x-y+1=0截圓所得的弦長為22,
      ∴r2-(a-b+12)2=(2)2       ③
      解由方程①、②、③組成的方程組得:
      b=-3,a=6,r2=52.或b=-7,a=14,r2=244,
      ∴所求圓的方程為
      (x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
      20.(本小題滿分12分)某集團準備興辦一所中學,投資1200萬元用于硬件建設.為了考慮社會效益和經濟利益,對該地區教育市場進行調查,得出一組數據列表(以班為單位)如下:
       班級
      學生數 配備
      教師數 硬件建設
      (萬元) 教師年薪
      (萬元/人)
      初中 60 2.0 28 1.2
      高中 40 2.5 58 1.6
      根據有關規定,除書本費、辦公費外,初中生每年可收取學費600元,高中生每年可收取學費1500元.因生源和環境等條件限制,辦學規模以20至30個班為宜.根據以上情況,請你合理規劃辦學規模使年利潤最大,最大利潤多少萬元?(利潤=學費收入-年薪支出)
      解析:設初中x個班,高中y個班,則
      20≤x+y≤30   ①28x+58y≤1200  ②x,y∈N*
       
      設年利潤為s,則
      s=60×0.06x+40×0.15y-2×1.2x-2.5×1.6y
      =1.2x+2y
      作出①、②表示的平面區域,如上圖,易知當直線1.2x+2y=s過點A時,s有最大值.
      由x+y=3028x+58y=1200解得A(18,12)
      ∴smax=1.2×18+2×12=45.6(萬元).
      即學校可規劃初中18個班,高中12個班,可獲得最大年利潤為45.6萬元.
      21.(本小題滿分12分)直線y=kx與圓x2+y2-6x-4y+10=0相交于兩個不同點A、B,當k取不同實數值時,求AB中點的軌跡方程.
      剖析:本題考查與圓有關的軌跡問題.
      解析:解法一:由x2+y2-6x-4y+10=0,y=kx,
      消去y,得(1+k2)x2-(6+4k)x+10=0.
      設此方程的兩根為x1、x2,AB的中點坐標為P(x,y),則由韋達定理和中點坐標公式,得x=x1+x22=6+4k2(1+k2)=3+2k1+k2.    ①
      又點P在直線y=kx上,
      ∴y=kx.
      ∴k=yx.        ②
      將②代入①,得x=3+2×yx1+(yx)2(x≠0),整理得x2+y2-3x-2y=0.
      故軌跡是圓x2+y2-3x-2y=0位于已知圓內的部分.
      解法二:設A(x1,y1),B(x2,y2),則
      x21+y21-6x1-4y1+10=0,①
      x22+y22-6x2-4y2+10=0,②
      ①-②,得(x21-x22)+(y21-y22)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0.
      設AB的中點為(x,y),則x1+x2=2x,y1+y2=2y.
      代入上式,有2x(x1-x2)+2y(y1-y2)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0,
      即(2x-6)(x1-x2)+(2y-4)(y1-y2)=0.
      ∴x-3y-2=-y1-y2x1-x2=-k.    ③
      又∵y=kx,       ④
      由③④得x2+y2-3x-2y=0.
      故所求軌跡為已知圓內的一段弧.
      點悟:解法一為參數法,適當引入參數,再消去參數得所求軌跡;解法二為“差分法”,是求中點軌跡的一種常用方法.
      22.(本小題滿分12分)已知m∈R,直線l:mx-(m2+1)y=4m和圓C:x2+y2-8x+4y+16=0.
      (1)求直線l斜率的取值范圍;
      (2)直線l能否將圓C分割成弧長的比值為12的兩段圓弧?為什么?
      解析:(1)直線l的方程可化為y=mm2+1x-4mm2+1,
      直線l的斜率k=mm2+1,
      因為|m|≤12(m2+1),
      所以|k|=|m|m2+1≤12,當且僅當|m|=1時等號成立.
      所以,斜率k的取值范圍是[-12,12].
      (2)不能.
      由(1)知l的方程為
      y=k(x-4),其中|k|≤12.
      圓C的圓心為C(4,-2),半徑r=2.
      圓心C到直線l的距離d=21+k2.
      由|k|≤12,得d≥45>1,即d>r2.
      從而,若l與圓C相交,則圓C截直線l所得的弦所對的圓心角小于2π3.
      所以l不能將圓C分割成弧長的比值為12的兩段圓弧.
      相關標簽: 直線與圓的方程
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